持卡人去世后，处理信用卡欠款的方式如下：
如果持卡人的信用卡债务未到期，可以直接到银行注销账户。小额债务将终止，银行一般不再追讨。
如果持卡人有遗产，则欠款应由遗产的继承人来偿还。继承人在遗产继承的份额范围内承担偿还责任。
如果持卡人生前没有留下遗产，则欠款通常由直系亲属负责偿还。
如果持卡人既没有遗产继承，也没有配偶，那么信用卡欠款将作为坏账处理，银行可能会将其作为呆账核销。
在债务人死亡的情况下，银行可以起诉债务人的法定继承人和担保人（如果有担保人的情况下）。担保人在担保的范围内承担偿还责任。
家属需要致电信用卡客服中心，按照客服中心的指导完成销卡。如果卡内有欠款，需要先还清欠款才能销卡。家属应提供《死亡证明》和《继承权证明书》等相关文件。
如果持卡人的信用卡消费发生在婚内且用于家庭生活，应认定为夫妻共同债务，应由夫妻共同财产偿还。如果共同财产不足以偿还，持卡人如无其他个人财产，夫妻另一方仍应继续偿还。
银行在得知持卡人去世的消息后，会立即冻结该银行卡，并根据遗产继承等法律程序进行资金发放和注销该卡。如果银行卡内有余额，这些余额将被视为遗产进行处理，合法继承人需要按照银行的要求办理相关手续以取出这些资金。
建议：
家属在持卡人去世后应尽快联系银行，了解具体的欠款偿还和销卡流程，并提供必要的证明文件。
如果持卡人有遗产，家属应尽量通过遗产继承来偿还欠款，以减少后续的法律和经济纠纷。
如果持卡人没有遗产且无配偶，家属可以根据实际情况选择是否继续偿还欠款或通过法律途径寻求豁免。