当患者遭遇医疗纠纷时，可以通过以下途径来解决问题：

与医疗机构协商

患者或其家属应及时向医疗机构的相关部门（如医患沟通办公室）提出投诉或反映问题，并尝试与医疗机构进行协商。通过双方沟通，寻求和解。

申请行政调解

如果与医疗机构协商无果，患者或其家属可以向当地的卫生行政部门申请调解。卫生行政部门会组织相关专家进行调解，促使医患双方达成和解协议。

申请医疗事故鉴定

如果认为纠纷涉及医疗事故，患者或其家属可以向当地的医学会申请医疗事故鉴定。鉴定机构会对医疗过程进行审查，确定是否构成医疗事故以及责任程度。

提起诉讼

如果以上方式都无法解决纠纷，患者或其家属可以向人民法院提起诉讼。在法院的主持下，可以达成调解方案或由法院依法判决。

寻求第三方调解

患者还可以选择向当地的医患纠纷调解委员会申请调解。调解委员会由当地的司法局设置，是一个群众性的组织，负责协调医患双方达成调解方案。

建议患者在遇到医疗纠纷时，首先尝试与医疗机构协商解决，如果协商无果，再考虑申请行政调解或医疗事故鉴定。若这些方法都无法解决问题，最后可以选择向人民法院提起诉讼或寻求第三方调解。在整个过程中，患者应保留好相关证据，以便在需要时提供支持。