立案告知书下来后，具体侦查时间没有统一的时间标准，它取决于公安机关收集证据的进度。不过，对于侦查羁押期限，法律上有明确规定。

一般侦查羁押期限：

依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十六条，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。

特殊情况下的延长：

如果案件特别复杂或涉及面广，经过上一级人民检察院的批准，侦查期限可以延长一个月。

特殊案件的侦查期限：

对于疑难案件或犯罪事实复杂、难以查明的情况，公安机关可以向人民法院申请延长侦查期限，但申请延长的期限一般不得超过三十天。

综上所述，立案告知书后的侦查时间主要取决于案件的复杂性和公安机关收集证据的进度，但法律规定了最长不超过两个月的侦查羁押期限，并在特殊情况下可以依法延长。